Propriété (T) renforcée et conjecture de Baum-Connes

Nous cherchons à comprendre pourquoi la propriété (T) de Kazhdan [Kaz67, HV89, BHV08], et plus particulièrement une forme renforcée de celle-ci introduite dans [Laf08], sont un obstacle à une démonstration de la surjectivité de l’application de Baum-Connes à coefficients arbitraires pour des groupes ayant un élément γ de Kasparov, à l’aide des méthodes connues. Nous passons d’abord en revue trois méthodes pour montrer la surjectivité de l’application de Baum-Connes à coefficients pour des groupes ayant un élément γ de Kasparov (pour lesquels l’injectivité de l’application de Baum-Connes à coefficients est connue). La première méthode (due à Kasparov [Kas88]) consiste à montrer que γ = 1 dans KKG(C,C). C’est la méthode qui a donné le plus de résultats positifs mais nous ne la mentionnons que brièvement car elle échoue pour les groupes non compacts ayant la propriété (T) pour des raisons évidentes alors que l’obstacle de la propriété (T) renforcée est plus subtil pour les autres méthodes. La deuxième méthode (d’abord proposée par Julg [Jul97]) consiste à construire une homotopie de 1 à γ en utilisant des représentations dans des espaces de Hilbert qui ne sont pas unitaires mais dont la croissance est contrôlée par une exponentielle arbitrairement petite. Nous justifions en détail, en nous appuyant sur des idées de Higson, le fait que, pour un groupe localement compact agissant de façon continue, isométrique et propre sur un espace de dimension asymptotique finie avec contrôle linéaire (et donc en particulier pour un groupe hyperbolique), l’existence d’une telle homotopie implique la surjectivité de l’application de Baum-Connes à coefficients arbitraires. La troisième méthode est la méthode banachique [Laf02a], qui fait intervenir des complétions inconditionnelles et dont le résultat dépend beaucoup des coefficients : elle ne montre la conjecture de Baum-Connes à coefficients arbitraires pour aucun groupe ! Nous proposons ensuite un cadre général (assez évident) englobant ces trois méthodes et nous en tirons une condition nécessaire pour qu’une méthode inscrite